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望月新一试图解决的ABC猜想论文,终于将发表

撰文 | 达维德·卡斯泰尔韦基(Davide Castelvecchi)

编译 | 吴非

2012年的一天,日本数学家望月新一(Shinichi Mochizuki)将4篇论文挂到了他的网站上。这些论文的总篇幅超过了600页,望月新一在论文中宣称,他解决了ABC猜想——当今数学界最大的难题之一。然而,论文公开后,在很长一段时间内,能读懂这篇论文的数学家寥寥无几。望月新一的证明,也成了数学界的一桩悬案。

4月3日,望月新一在京都大学数理解析研究所的两位同事召开新闻发布会宣布,望月新一关于ABC猜想的证明终于被学术期刊接收、即将正式发表。接收这些论文的期刊是《数理解析研究所公刊》(PRIMS)——正如期刊名字所揭示的那样,这个学术期刊的主办单位正是望月新一任职的京都大学,而该期刊的主编,正是望月新一本人。

尽管争议依旧,但论文被接收就意味着,这个漫长(时间和篇幅双重意义上)的ABC猜想证明,终于进入了一个全新的阶段。接下来,望月新一的证明将接受更多同行的评判。

出席发布会的,是望月新一的两位同事——柏原正樹(Masaki Kashiwara)和玉川安騎男(Akio Tamagawa)。而这些年来始终不愿接受媒体采访的望月新一,此次依旧没有现身发布会现场。“这篇论文将产生很大的影响,”柏原正樹在发布会上说,论文被接收后,望月新一终于松了一口气。

30多年的猜想

望月新一试图解决的ABC猜想,是一个有着超过30年历史的数论难题。这个猜想揭示了整数加法与乘法之间的深刻联系。每个正整数都能唯一地表达为质数的乘积。现在,a、b、c是3个正整数,其中a + b = c。如果a和b能分解为许多小的质数,那么c就只能分解为寥寥可数的几个大质数。

这个想法首先是由法国数学家约瑟夫·厄斯特勒(Joseph Oesterlé)在1985年的一次演讲中提出的。厄斯特勒当时只是随口一提,但在场的瑞士数学家戴维·马瑟(David Masser)意识到,这个猜想可能非常重要,于是开始宣传它的一种推广形式。因此,ABC猜想也被称作厄斯特勒-马瑟猜想。

数年后,哈佛大学的数学家诺姆·埃尔奇斯(Noam Elkies)意识到,如果ABC猜想是正确的,它将会对整数方程研究领域产生深远的影响——对ABC猜想的证明会一下子解决一长串著名的未解丢番图方程。

如果得到证实,这将会成为本世纪内最惊人的数学成就之一,也会在整数方程的研究中掀起一场彻底的变革。基于ABC猜想,还可能出现一种用于证明费马大定理的全新方法。

苦战十年

1994年,在普林斯顿大学取得博士学位的望月新一回到日本,任职于数理解析研究所。此后几年,他的一系列工作取得了国际声誉。但到了21世纪初,望月新一却将自己“封闭”在研究所内,不再参加国际会议,甚至很少离开京都。其他数学家知道,他的最终目标,就是ABC猜想。

2012年8月30日,望月新一在网上公开了自己的证明。不过,他没有选择预印本网站,而是将论文悄悄地发在了数学科学研究所的网站上。这4篇论文不仅篇幅惊人,内容也令其他数学家头疼不已——其中一些数学概念是他完全不熟悉的。望月新一在描述一些全新理论时,会使用令人震惊的、几乎是以救世主自居的语言,他甚至将他创造的这个领域称为“宇宙际几何”。

美国威斯康星大学麦迪逊分校的数论学家乔丹·埃伦伯格(Jordan Ellenberg)这样评价望月新一的论文:“就像是在读来自未来或外太空的论文。”

直到两年后,英国诺丁汉大学的伊万·费先科(Ivan Fesenko)才告诉望月新一,他看懂了这些证明,并且验证了其正确性。但对于绝大多数数学家来说,这些论文依旧是“天书”,望月新一的猜想一度陷入了僵局。

一方面,他从不出国参加国际会议,即使是论文公开后受到演讲邀请,他也依旧拒绝了。另一方面,由于论文即使是在其他数学家看来也如同天书,同行往往不太愿意去研究他的论文,更不用说真正验证其正确与否。因此,在此后几年间,尽管望月新一的一些同事表示证明是正确的,但他的研究没有得到更多同行的认可。就连望月新一的博士导师格尔德·法尔廷斯(Gerd Faltings)也公开批评他“没有将想法更加清晰地表达出来”。

缺陷无法修复?

2017年12月,日本《朝日新闻》报道称,望月新一的论文已经被杂志正式接收,他们还将这一成就与费马大定理的证明相媲美。同时,有消息称接收这些论文的正是望月新一担当主编的PRIMS。不过当时,PRIMS的编辑对这一传言予以否认。

对于该消息,哥伦比亚大学的数学物理学家彼得·沃伊特(Peter Woit)在博客上写道,这些论文被期刊接收“在数学史上是前所未见的,因为有声望的学术期刊宣称他们验证了对一个著名猜想的证明,但该领域的绝大多数数学家却表示自己无法理解这个证明。”

几个月后,望月新一的处境更加不妙。两位德高望重的数学家——2018年菲尔茨奖得主,波恩大学的彼得·朔尔策(Peter Scholze)和歌德大学的雅各布·施蒂克斯(Jacob Stix)反驳了望月新一的证明,并指出其中一个具体的关键段落存在“无法修补的严重缺陷”。作为数论领域的权威,朔尔策在接受采访时表示:“我认为ABC猜想依然是开放的,任何人都有机会证明这个猜想。”如果这个说法成立,那么望月新一10年的结晶将受到致命打击。

而论文被接收的消息,似乎也没有让更多数学家转移到望月新一的阵营。“我可以肯定地说,在2018年之后,学界的态度没有太大的变化,”加州大学圣迭戈分校的数学家基兰·凯德拉亚(Kiran Kedlaya)说。他曾花了数年时间,试图证明ABC猜想。

论文即将正式发表的消息公布后,朔尔策在一封回复《自然》杂志的电子邮件中说:“自从我和施蒂克斯提出反对意见之后,我的观点没有任何改变。”

对于这两位数学家的质疑,玉川安騎男在发布会上表示,在即将发布的论文中,包含了一些对此的评论,但证明本身并没有因为朔尔策和施蒂克斯的批评而改变。

需要指出的是,数学家在自己担任编辑的学术期刊上发表论文,其实并不罕见。东京大学科维理物理和数学研究所的数学家中岛启(Hiraku Nakajima)说,只要作者回避同行评议流程,“这种情况没有违背任何规则,也很常见。”

柏原正樹表示,望月新一退出了论文的评议程序,没有参加关于这些论文的任何编辑委员会。他还表示,PRIMS之前也发表过编辑委员会其他成员的论文。

目前,论文正式发表的日期尚未确定。“由于论文篇幅很长,届时将有一期特刊,因此现在无法确定还需要多久。”柏原正樹说。

在数学界,论文被接收通常并不是同行评议的终点,只有在同行达成共识后,结论才能称得上真正成立。而这个过程,可能需要花费数年时间。

更多阅读:

只有一个人能看懂的证明:他或用500页天书开启了数学革命

原始链接:

https://www.scientificamerican.com/article/mathematical-proof-that-rocked-number-theory-will-be-published/

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