文章来源： 科研圈
代数和几何不仅折磨着无数的中小学甚至大学生，它们之间扑朔迷离的关系也是上千年来数学家们的烦恼，很多著名的猜想至今仍悬而未决。看似毫不相关的两个数学分支，到底能否鹊桥相见呢？全世界的目光聚焦到了一位年轻的天才数学家身上，迷雾在辗转反侧中渐渐散开……
撰文 Gilead Amit
翻译 孙英特
审校 阿金 徐文慧
编辑 徐文慧
当小明的年龄是小红的两倍时，他正好跟小刚同年，那么当小刚的年龄是小明现在的两倍时，小红会是现在的自己年龄的几倍？
或者试试这个问题：两名农场主同时继承了一块正方形土地，其中包含了一片圆形耕地。在不知道土地和耕地具体尺寸，或者不知道圆形耕地具体位置的前提下，如何用一条直线将两者精确地一分为二？
看到这里，你可能已经捏了把冷汗，也可能拿出纸笔开始计算（等不及的话可以拉到文章末尾看答案）。这两个问题都能算作“数学”问题，但它们又明显不同。第一个是算术学问题，涉及的是从1、2、3一直往下数这样的数的性质。算术学关心的是独立事物之间的数量问题，而不是它们的形状或行为表现。另一个则是几何学问题，一门基于连续性思想的学科：例如线、面和其他可测量的几何对象的连续性，以及它们之间的空间关系。
长久以来，数学家都试图在这两门古老学科之间架起桥梁，想要构建某种大统一理论。就在最近，一位年轻有为的数学家让这两门学科的距离缩小到前所未有。他前卫革新的几何见解不仅有望统一数学的不同分支，还可能有助于解决数论领域中最深奥的问题之一：素数之谜。数学界最高奖项菲尔兹奖（the Fields medals）颁发在即，斩获奖章对这位年轻人来说如同囊中取物。
菲尔兹奖奖牌 图片来源：fields.utoronto.ca
古希腊哲学家、数学家亚里士多德（Aristotle）曾写道：我们不能通过算术去证明几何问题。他认为几何能帮助解决算数问题也是无稽之谈。在当时，这个观点并无争议，却躲不过历史风霜的考验。与亚里士多德几乎同一时期的几何之父欧几里得（Euclid），没有依赖数字，而是用作图的方法将逻辑公理扩展到证明中。数字仿佛立于另一个时空，几何技巧求路无门。
这一状况持续到了 17 世纪，直到法国人勒内·笛卡尔（René Descartes）将代数技巧（解方程及活用抽象符号）与欧氏几何结合，破开了数字与几何间的坚冰。笛卡尔引入了坐标系的概念，即点、线、面能用坐标数值完美描述，让几何学家能够用代数方法求解几何问题。
笛卡尔坐标系，用到了他发明的x轴y轴 图片来源：wikipedia.org
这就像登陆月球的时候，我们终于能够以准确的角度和位置的将火箭发射出去。但对于纯数学家而言，距离终点还有一半的征程。比方说，一个圆可以用代数方程精确描述，可是根据方程的解描点作图得到的图形，永远都不得全貌。一旦改变坐标的单位系统（例如从 1 变成 π），就像纯数学家常做的那样，方程仍然成立，而绘图让人手足无措。
时间推移到 1940 年，另一个法国人安德烈·韦伊（André Weil）深受数字和几何间鸿沟的折磨。 在德军占领法国前的几个月，韦伊因为拒服兵役而被拘禁于法国鲁昂外的一所监狱中。福兮祸兮，监狱中的日子让反让他收获颇丰。在一封给妻子的信里，他写到：“如果只有在监狱中我才能更好地工作，可能每年都被关上两三个月才是我的最佳选择。”
韦伊渴望找到代数与几何间的“罗塞塔石碑”（Rosette stone，制作于公元前 196 年，用希腊文字、古埃及文字和当时的通俗体文字，刻记了古埃及国王托勒密五世登基的诏书，刻文被用来作为语言翻译用途），将一个领域内的真理转译到另一个领域。越过重重困难，韦伊发现了零星的线索。
这就涉及到了黎曼猜想（Riemann Hypothesis），一个人尽皆知的素数分布问题。人们早就觉得这个猜想应该有对应的几何解释。上世纪 30 年代，椭圆曲线已经得到代数证明。“与其弄清楚素数的分布，你可以转化为思考曲线上到底有多少个点。”来自伦敦帝国理工学院（Imperial College London）的数学家安娜•卡拉亚尼（Ana Caraiani）解释道。
韦伊证明了黎曼猜想同样适用于解更复杂的曲线，自古希腊时代就耸立在这两门学科之间的高墙，似乎终于要开始瓦解。纽约哥伦比亚大学（Columbia University）的迈克尔•哈里斯（Michael Harris）说：“韦伊的证明为代数几何学科建立了良好的基础，一举推翻亚里士多德当时的观点。
百万美元猜想
素数是在大于 1 的自然数中，除了 1 和自身外，无法被其他自然数整除的数。素数的数量无穷无尽，在实数轴上的分布似乎也毫无规律可言。 但在 1859 年，波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）提出黎曼猜想，预测素数出现的频率与简单的黎曼 ζ 函数紧密相关。
直到现在，黎曼猜想已经在前十万亿个素数上得到了证实，但仍未出现一个严格的证明。 为了突出这个问题的重要性，2000 年的时候，新罕布什尔州的克莱数学研究所（Clay Mathematics Institute）将其列为七大千年数学难题之一，并第一个得出正确证明的人设立了 $1，000，000 美元的奖金。
战后年代，身处环境更舒适的芝加哥大学（University of Chicago），韦伊依然尝试努力解决这一素数谜题，但始终没有成功。随后，接力棒传到了亚历山大•格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）手上， 他是二十世纪最顶尖的数学家之一，在上世纪 60 年代重新定义了代数几何学。
在一系列的学术创新之中，格罗滕迪克将一组整数称为“谱”，简记为 Spec（Z）。这个不可绘制的几何实体上的点与素数密切相关。如果你能弄清它的整体形状，或许就能洞悉素数的分布。如此这般，你便能建立一个横跨代数和几何的桥梁，直通黎曼猜想。
格罗滕迪克所寻求的 Spec（Z） 图形，完全不同于我们熟悉的任何几何对象，比如欧氏几何的圆形三角形，或是笛卡尔坐标系中的抛物线椭圆。 在这些平面上，一个点仅仅只是表面上的一个点，哈里斯说：“但是格罗滕迪克的点更像是从整个面的角度出发思考。”它涵盖了一个面的所有可能情况，比如在上面画一个三角形或者椭圆，或是甚至将其卷曲起来，好像包裹在一个球上。
如果上面的叙述已经让你云里雾里了，那再正常不过啦。即便是格罗滕迪克本人都没有试图去理解 Spec（Z） 的几何形状，更不要说去解决黎曼猜想。这时彼得•舒尔茨（Peter Scholze）登场了。
莫名其妙却前景光明
1987 年，舒尔茨出生在当时东德的德累斯顿，现年 30 岁，是波恩大学的教授。 他在自己的博士论文中垒起了构筑代数和几何间桥梁的第一块砖，成果发表于 2012 年，那时的他年仅 24 岁。文章中他大幅度地扩充了格罗滕迪克的几何思想，称之为状似完备几何学（perfectoid geometry）。他的研究建立在 p 进数（p-adics）的基础上，和素数紧密相连。这个理论的关键是：在舒尔茨的状似完备几何学中，一个质数能够由与之相关的一个 p进数来表示，类似于方程中的变量，由此，几何方法得以应用到代数领域中。
我已经很难再做更多的解释了。如哈里斯所言，舒尔茨的创新可以算作是“代数几何中最深奥难懂的概念之一”，这门学科一向有着各种概念的晦涩艰深的特性，大多数活跃的数学家也都常感不知所云。
尽管如此，在过去的几年中，舒尔茨和几位领域中的开创者已经使用这个方法，解决了代数几何中许多的难题，收获了极大的赞誉。他的合作伙伴卡拉亚尼说：“对一名数学家而言，舒尔茨真的是非常独特。能和他在同一领域工作我感到十分兴奋。
30岁的彼得•舒尔茨，今年菲尔兹奖的众望所归 图片来源：Alamy Stock Photo
今年 8 月，全球的数学家将聚集在巴西里约热内卢，参加每四年举办一次的数学界盛宴。这场盛会最受人瞩目的就是菲尔兹奖，每次都会有四名 40 岁以下的数学家被授予这最高殊荣，而这一次，有一个人成为了众望所归。牛津大学（University of Oxford）的马库斯·杜·索托伊（Marcus du Sautoy）评论道：“假如彼得与今年菲尔兹奖失之交臂，我觉得唯一原因大概就是委员会觉得他太年轻了，还能再等个四年。”
各方面前景都一片光明，这让 Spec（Z） 和黎曼猜想的悬而未决看起来只能靠边站了。但是，考虑到格罗滕迪克革新的几何学，舒尔茨的新方法能够让他进一步研究其中的奥秘，就好像你在显微镜下检验 Spec（Z） 曲线上素数 p 所对应的点。当然了，要理解整个曲线或者证明黎曼猜想仍然道阻且长， 而他的工作给数学家们带来了希望：这个看似遥不可及的目标可能终将实现。“而这本身就是一个巨大的突破。”卡拉亚尼说道。
除此之外，这让代数与几何间的桥梁有了向不同方向构建的可能。半个世纪的前的 1967 年，当时 30 岁的普林斯顿数学家罗伯特·郎兰兹（Robert Langlands）试探性地给韦伊写了一封信，概述了一个宏伟的蓝图。“如果你愿意将其解读为纯粹的猜测，我会感激不尽，” 他写道，“或者你手边应该有个废纸篓。”
朗兰兹在他的信中提出，数学上两个差之千里的分支，数论（Number theory）和调和分析（Harmonic analysis）可能是相关的。信中包含的思想种子萌生成了朗兰兹纲领（Langlands program），一系列影响深远的数学猜想，也被一些数学家称为大统一理论，能够统一数学中三个核心学科：算术、几何和数学分析。其中数学分析是一门范围及其宽广的学科，包括了我们在学校中学习的微积分。包括舒尔茨在内的全球数百位数学家，都致力于完善这门学科。
朗兰兹猜想的完整版并不像黎曼猜想那样，可能很快就能被证明出来，但这个思想宝库中蕴含了很多惊人发现：就像费马大定理（Fermat‘s last theorem），在提出后过了 350 年，才在 1994 年被英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）证明，而这只是朗兰兹猜想中的一个特殊结果。最近，法国数学家洛朗•法尔格（Laurent Fargues）提出了一个新方法，以舒尔茨的研究为基础来理解朗兰兹纲领中与 p 进数有关的部分。有传言称，部分结果可能会展示在里约热内卢的盛会上。
今年 3 月，朗兰兹获得了另一个重量级数学奖，阿贝尔奖（Abel prize），以表彰他毕生的成就。“漫长的等待之后，朗兰兹思想的重要性才得到了认可，”卡拉亚尼说，“这个大奖未免来得有些迟了。”舒尔茨这次似乎不用等那么久。
p 进数：数论领域的新宠儿
几何和代数大统一研究的最新核心就是 p 进数，即任意给定的素数 p 的替代表示。从一个任意正整数创建出一个 p 进数，就要将这个整数表示成 p 进制的数，然后再反向表达。比如要把整数 20 表示成 2 进数的形式，你就先写出 20 的二进制表达 10100，然后再倒序来写，就是 00101。同样的，20 的 3 进数是 202，4 进数是 011。
p 进数的特点也会稍有不同，其中最明显的是数的“距离”问题：若两个数之差能够被 p 的多次幂整除，那么这两个数距离就“接近”，幂次越高，距离越近。例如，11 和 36 的 5 进数就很近，因为它们的差是 52。但 10 和 11 的 5 进数就相隔甚远。
在 p 进数发明后的几十年内，人们都只是将它当作“数学玩具”，觉得没有什么实际用处。直至上世纪 20 年代，德国数学家赫尔穆特·哈赛（Helmut Hasse）在二手书店里的某本小册子上看见之后，为其着迷不已。他意识到 p 进数指引了如何处理素数不可被其他数整除的特性，变成了解决复杂证明的一条捷径。
自此以后，p 进数就逐渐成为数论领域中的核心部分。怀尔斯在证明费马大定理的时候，几乎每一步都涉及了 p 进数的概念。
答案：小红会是她现在年龄的3倍；将土地和耕地的中心连线即可
