撰文：Ethan Siegel，天体物理学家，作者，科学传播工作者，在多所大学教授物理与天文学。
毕达哥拉斯定理几乎是所有人最早学到的数学定理之一：一个直角三角形最长的边（斜边）的平方，等于另两条边（直角边）的平方和。满足这一定理的第一个整数组合是三边分别为 3、4 和 5 的三角形：3² + 4² = 5²。其他一些同样满足这一关系的整数组还包括：
当然这样的整数组还有很多。但 3、4 和 5 是其中最特殊的一组，因为它们是唯一满足毕达哥拉斯定理的连续整数。
这个简单的乘法表沿对角线展示了前 20 个正整数的平方数。神奇的是，不仅 ² + 4² = 5² 成立，10² + 11² + 12² = 13² + 14² 也同样成立。这种关系并不是巧合。
事实上，它们是唯一满足等式 a² + b² = c² 的连续整数。但是，如果你允许在这个等式囊括更多数字，或许就可以有其它连续整数能满足更复杂的等式，比如 a² + b² + c² = d² + e²。而有意思的是，这个等式也只有一个连续整数组解：10² + 11² + 12² = 13² + 14²。
原因是这样的。
直角三角形任意两条直角边的平方和，总是等于斜边的平方。但这种关系远不止一个简单的等式。
认识毕达哥拉斯定理的最巧妙的方法之一是假设有一个边长为 b 的正方形，这个正方形的面积也就是 b²。要使 a² + b² = c² 成立，并且希望 a、b 和 c 是连续的整数，那么就自然对 a 和 c 有会产生极大的限制。
这意味着 c 必须等于（b + 1），而 a 必须等于（b - 1），我们可以运用一点代数知识来求解这个等式。
因此，b 必须等于 0（这就没有意义了）或 4，其中 4 就是我们之前看到的毕达哥拉斯等式，也就是 3² + 4² = 5² 的情况。
图上方的一个边长为 b 的正方形（蓝色）可以分成四块。如果沿着边长为（b-1）的正方形（黄色）的边正确地堆叠它们，则可以得到边长为（b+1）的正方形（绿色），这是理解毕达哥拉斯定理的另一种方法。
但我们也可以用图形来解决这个问题。如果从一个边长为 b 的正方形开始，把它分成宽为 1 、长为 b 的细长条。然后把这些细长条围在一个小一点的正方形 [也就是边长是 (b - 1) 的正方形]四周 ，从而得到一个更大的正方形[也就是边长是 (b + 1) 的正方形]。因为正方形有 4 条边，因此唯一做到这一点方法是，你得有 4 个长条，每边加上一条。
上图清楚地显示了如何完成它：
把中间的正方形分成 b 块，每块的宽是 1，
把这些细块放在更小的正方形 [这个正方形的边长是 a，即 (b - 1)]周围，
最后得到一个更大的正方形[这个正方形的边长是 c，即 (b + 1)]。
边长为 3、4、5 的直角三角形，是满足毕达哥拉斯定理的第一组整数，也是满足该等式的唯一一组连续整数。
这是唯一能让等式 a² + b² = c² 成立的连续整数解。如果把那个中等大小的正方形变得更大或更小，都无法得到正确的条数围在较小的正方形周围。对于 a² + b² = c² 来说，只有 3、4 和 5 的这组连续整数能让等式成立。
但是，为什么只局限在三个数字呢？对于任何奇数个连续整数，都可能找到满足这种关系的连续整数，比如：
等等等等。
等式 10² + 11² + 12² = 13² + 14² 的两边都等于 365。在这幅 1895 年的画作中，它被用另一种形式——心算——流传了下来。| 图片来源：NIKOLAY BOGDANOV-BELSKY
事实上，如果考虑第二种等式，也就是 a² + b² + c² = d² + e²，你会发现也只有一种连续整数组合能使等式成立：10² + 11² + 12² = 13² + 14²。等式左边的 100 + 121 + 144 相加等于 365，右边的 169 + 196 相加也等于365。
用代数方法可以求解这类等式，但花的时间可能会有点多。解到最后你会发现中间的数字 c 必须是 12（或 0），因此完整的等式是 10² + 11² + 12² = 13² + 14²。
但如果用之前的那种图形方法，你会发现还可以用一种直观的方法找到答案。
同样，如果我们想解构一个正方形，并用它把两个较小的正方形变成两个较大的正方形，我们需要 4 个单位来调整一个正方形，需要8个单位来调整另一个正方形。这意味着一个边长 12 的正方形，可以分别将边长为 11 和 10 的正方形，变成边长为 13 和 14 的正方形。
和之前一样，我们取中间的正方形（它的边长是 c），并将其分成宽是 1、长是 c 的细长条。不过，与第一次不同的是，这次我们还有另外两个正方形，我们需要用这些细长条来把这两个正方形变得更大：
把一个较小的正方形[边长是 (c - 1)] 变成一个较大的正方形 [边长都是 (c + 1)]，
把一个更小的正方形 [边长是 (c - 2)] 变成一个更大的正方形[边长都是 (c + 2)]。
就像上次一样，为了完成第一个正方形，我们总共需要 4 个宽度为 1 的细长条；但要实现第二个正方形，就还需要 4 条宽度为 2 的细长条。
如果我们想用一个边长为 c 的正方形将两个较小的正方形 [边长分别为 (c-1) 和 (c-2)] 变成两个较大的正方形 [边长分别为 (c+1) 和 (c+2) ]，我们需要 c=12 才能实现。
也就是说，只有当中间正方形的边长是12时，等式才成立，这就是为什么我们会得到等式 10² + 11² + 12² = 13² + 14²。如果这是一个边长为 12 的正方形，它可以被分成 12 个长条，你取其中 4 条（4 × 12 = 48），将 11² 变成 13²（121+48=169）。类似地，还可以用 8 条长条（8 × 12 = 96），并将 10² 转换为 14²（100 + 96 = 196）。这也就是 a² + b² + c² = d² + e² 的唯一连续整数解。
从这里开始，你可能隐约发现了一种规律，从数学的角度来看，这种规律很有趣。如果下一步我们找到包含了更多数字的等式的解是什么，我们就可以更清楚地看到这一点。
换言之，我们要如何找到 a² + b² + c² + d² = e² + f² + g² 的解？
取 4 个连续整数的平方和，让它们等于接下来的 3 个整数的平方和，这是第三个可以写下来代表毕达哥拉斯游程的可能等式。
现在，我们还是要采用类似的方法，把三个较小的正方形变成更大的正方形：
将边长为 (d - 1) 的正方形变成边长为 (d + 1) 的正方形，需要 4 个单位长度，
将边长为 (d - 2) 的正方形变成边长为 (d + 2) 的正方形，需要 8 个单位长度，
将边长为 (d - 3) 的正方形变成边长为 (d + 3) 的正方形，需要 12 个单位长度。
如果中间的正方形恰好是边长为 4 + 8 + 12 = 24，就可以给这个等式提供可能的解，也就是 21² + 22² + 23² + 24² = 25² + 26² +27²。我们可以通过计算来验证一下，441 + 484 + 529 + 576 = 625 + 676 + 729，等式两边都等于 2030，也就是等式成立。
这幅图代表第三个毕达哥拉斯游程，说明了为什么 24 是中间正方形边长的关键数字，它是等式 a² + b² + c² + d² = e² + f² + g² 的解。
在数学中，这类数列有一个特殊的名字，叫毕达哥拉斯游程（Pythagorean Runs），它可以追溯到毕达哥拉斯定理及其原始解 3² + 4² = 5²。这些数列中的中间数按 4、12、24、40、60、84、112……依此出现，可以一直排到无穷大。所以如果你想知道接下来的满足这类等式的数列是什么，你会得到：
这看似疯狂的数学巧合，其实有着深刻而直接的解释。
一年（非闰年）中有 365 天，10² + 11² + 12² = 13² + 14² = 365。但上述数学事实与这一历法完全没有关系，也与地球的自转和绕太阳的公转没有关系。这种数学关系是毕达哥拉斯几何的直接结果，它比单纯的代数更直观，一年的天数反而在这里纯粹是个巧合。
毕达哥拉斯只从 a² + b² = c² 开始，它有 3、4、5 的唯一一组连续整数解。但是，我们可以任意扩展它，对于每一个可以写下的奇数项的等式，都只有一组连续整数的唯一解。这些毕达哥拉斯游程受一类精巧的数学结构来控制，通过了解平方是如何运作的，我们也可以理解为什么它们不可能以其他方式变化。
原文标题“This One Equation, 10² + 11² + 12² = 13² + 14², Takes Pythagoras To A Whole New Level”，于2020年3月6日发表于Forbes，
原文链接：https://www.forbes.com/sites/startswithabang/2020/03/06/the-bizarre-math-of-why-10%C2%B2-11%C2%B2-12%C2%B2-13%C2%B2-14%C2%B2/#5b8b801d3953。
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