机器之心报道
机器之心编辑部
前天，挪威科学与文学院宣布，2020 年度的阿贝尔奖将授予两位著名数学家，一位是以色列耶路撒冷希伯来大学教授 Hillel Furstenberg，另一位是耶鲁大学教授 Gregory Margulis。二人都曾获沃尔夫数学奖，Gregory Margulis 还是 1978 年菲尔茨奖得主。阿贝尔奖、沃尔夫奖、菲尔兹奖被誉为数学界的「三大奖项」，如今，Gregory Margulis 已经成为集齐三大奖项的数学家之一。
阿贝尔奖以挪威数学家 Niels Hendrik Abel 的名字命名。自 2003 年起，该奖项每年颁发给为数学界带来重大影响的人。之前的获奖者包括证明了费马大定理的 Andrew J. Wiles、纽约大学数学系教授 Peter D. Lax、电影《美丽心灵》的原型约翰·纳什（John F. Nash Jr.），以及 89 岁挑战黎曼猜想的数学家迈克尔·阿蒂亚爵士等。
今年阿贝尔奖的两位得主使用随机性原理为数学领域的研究带来了新视角。他们在「在群理论、数论以及组合论中运用概率论与动力学方法」做出了开创性工作，缩短了不同数学领域之间的间隔，解决了曾经看似无法企及的数学难题。
Furstenberg 称，当他得知自己获奖时完全不敢相信是真的，早些时候他并没有意识到自己的想法与工作会产生如此大的影响。Furstenberg 说：「像所有的数学家一样，我只是遵从自己的直觉去探寻那些看起来有趣的事物。」Margulis 也表示能够获得数学界知名度如此高的奖项，自己感到无比荣幸。
Furstenberg 收到获奖信息时的场景。
随机性，数学的瑰宝
两位数学先驱都使用了遍历理论（Ergodic theory）中的技术，该理论属于动力系统这一数学分支，其最开始起源于物理问题的相关研究，例如行星系统的运动。遍历理论研究随时间演变的系统，最终探索几乎所有可能的状态。这些系统通常是混沌的，这意味着只能使用概率来预测其未来行为。
但是随机性应用到其它数学问题时会产生很好地效果，加州大学洛杉矶分校的数学家陶哲轩解释道：「如果你希望理解一个很大的空间，一种好方法就是随机探索它。」
我们可能会想到机器学习中的最优化问题，模型的所有参数都是随机初始化的，整个参数空间极其巨大。而我们采用的随机梯度下降，本质上在每一次迭代中，它只采用很少的数据去决定探索的方向，它对梯度的估计，是存在很大的随机性的。但正是这样带有强烈「随机性」的方法，最后却能找到一个足够好的解。
在上个世纪中期的数学体系中，很多数学家并不认为概率论是非常重要的一部分，比它更为基础的还有数论、代数和微分几何等领域。当时很多数学家认为概率论只是「应用数学」，但 Furstenberg 与 Margulis 找到了一类新方法以展示随机性、概率方法如何解决抽象问题。
「随机性」并不只包含随机，其内部还有一些我们尚未发掘的有趣结构。
在早年间的开创性论文中，Furstenberg 就借助遍历理论的思想表明，即使随机性最大的无穷整数集合，其内部也会包含一些规则结构。他说：「即使整个系统是混沌的，其内部也会隐藏一些结构。这就像夜空的星星，它们看上去是完全随机的，但古希腊人却能总结出一些星座。」
Furstenberg 的思想影响到了各个领域，它们似乎离遍历理论比较远，包括几何学与代数。基于他的工作，陶哲轩与牛津大学数学家 Ben Green 于 2004 年宣布在数论上取得重大突破，他们在看似完全随机排列的素数中发现了惊人的模式。
Furstenberg 与 Margulis 利用随机游走（random walk）来研究线性群的结构，并揭示这些数学对象的秘密。可以说，随机是非常优异的一种探索工具。
那么什么是随机游走过程？要知道在机器学习中，随机游走也应用在图模型、贝叶斯网络或时序建模当中，它为模型引入的随机性也有非常好的属性。
简单来说，随机游走即以不同的概率选择下一步的方向。例如一维随机游走，每次都会以某个概率选择负方向走一步，或者以另一个概率向正方向走一步。我们可以把随机游走看作是布朗运动，只不过它是布朗运动的理想数学状态。
实至名归的阿贝尔 2020
早年间，Furstenberg 和 Margulis 都因其犹太背景而备受歧视。Furstenberg 生于 1935 年的柏林，在他四岁的时候整个家庭就因为逃避纳粹的迫害而定居纽约。在普林斯顿大学获得博士学位后，Furstenberg 留校担任了一年的讲师，然后在明尼苏达大学获得教职。后来 Furstenberg 移居到以色列，并于 1965 年到 2003 年间在耶路撒冷的希伯来大学任教。
Margulis 出生在 1946 年的莫斯科，他 16 岁时因赢得国际数学奥林匹克竞赛银牌而受到关注，并在莫斯科国立大学获得博士学位。Margulis 32 岁时就获得了菲尔兹奖，但他不被允许离开苏联参加颁奖典礼。后来 Margulis 移民到美国，并且目前仍然在耶鲁大学任教。
左为 Hillel Furstenberg，右为 Gregory Margulis。
Margulis 在年轻的时候就取得了他最大的成就，甚至在苏联之外的科研人员有机会与他接触之前，它的名声就已经传播开了。Margulis 凭借他在对称性理论方面的工作，于 32 岁获得了菲尔兹奖，该领域涉及几何学的连续变换，例如平面的刚体运动或者球面的旋转。
在菲尔兹奖颁奖典礼上，有数学家这样介绍 Margulis：「曾经有好几次，Margulis 解决那些在当时看似完全无法企及的问题。」挪威科学与文学院表示，他的研究成果至少为 Lindenstrauss、Mirzakhani 和 Venkatesh 这三位菲尔兹奖获得者奠定了基础。
这两位教授对数学研究做成了很多贡献，Furstenberg 使用遍历理论中的方法证明了 2012 年阿贝尔奖获得者的著名结论，成为 Ben Green 和陶哲轩证明素数序列包括任意大的算术级数等众多研究成果的依据。Margulis 在 1984 年采用遍历理论中的方法证明了奥本海默猜想，整个运用遍历理论的想法创造了一个新的领域。
Furstenberg 与 Margulis 的数学贡献囊括了很多基于遍历理论、递归、李群和随机游走所提出的概念，他们确实实至名归。
尽管阿贝尔奖已经公布了，但颁奖仪式一般在当年 6 月份。不过因为今年的疫情的传播，颁奖仪式将移到下一年，与 2021 年的阿贝尔奖一同举行。
数学界三大奖项
阿贝尔奖、菲尔兹奖和沃尔夫数学奖被誉为数学界的三大奖项，每个奖项都是对这一领域科学成就的极大肯定和鼓励。
阿贝尔奖
先来说一下今天的主角阿贝尔奖。2001 年，挪威政府为纪念 2002 年阿贝尔二百周年诞辰，宣布开始颁发阿贝尔奖，启动资金为 2 亿挪威克朗。
尼尔斯·亨利克·阿贝尔是挪威著名数学家，1802 年 8 月出生于挪威一个农村，1829 年 4 月逝世，去世时年仅 27 岁。但其短暂的一生为数学领域做出了很多开创性的工作。在大学课程中，我们总能听到其名字，例如阿贝尔函数、阿贝尔积分、阿贝尔群等。但是阿贝尔是个「隐没的天才」，虽然成就极高，却在生前没有得到认可。直到阿贝尔去世前不久，数学领域才认识到他的价值。
尼尔斯·亨利克·阿贝尔
阿贝尔奖委员会由挪威自然科学与文学院的五名数学家院士组成。2003 年，委员会宣布第一位获奖人：法国数学家让-皮埃尔·塞尔。现在，阿贝尔奖已经成为了数学界最高荣誉之一，每年奖励对数学领域有极大影响的贡献者，奖金为 750 万挪威克朗（约合约合 446 万元人民币）。
在 2019 年之前，阿贝尔奖的获奖者均为男性，但在去年，该奖项第一次颁给了女性数学家 (https://mp.weixin.qq.com/s/vmQTLUxNZ01DloJF4ppXhg)。获奖者是普林斯顿大学任高级研究访问学者凯伦·凯斯库拉·乌伦贝克（Karen Keskulla Uhlenbeck），获奖理由是她「在几何偏微分方程、规范理论和可积系统方面的开创性贡献，以及她的研究对分析、几何和数学物理的重大影响。」
菲尔兹奖
菲尔兹奖（Fields Medal）是据加拿大数学家约翰·查尔斯·菲尔兹（John Charles Fields）要求设立的国际性数学奖项，于 1936 年首次颁发。
约翰·查尔斯·菲尔兹（1863~1932）生于加拿大渥太华，是一位著名的数学家。1906 年，他证明了黎曼一罗赫定理。此外，他还是一位出色的数学事业的组织、管理者，是在加拿大推进研究生教育的第一人。
约翰·查尔斯·菲尔兹
菲尔兹奖每四年颁奖一次，在由国际数学联合会主办的四年一度的国际数学家大会上举行颁奖仪式，每次颁给二至四名有卓越贡献的年轻数学家。获奖者必须在该年元旦前未满四十岁，每人将获得 1.5 万加元（约合 7.2 万元人民币）奖金和金质奖章一枚。
截止 2018 年，世界上共有 60 位数学家获得过菲尔兹奖，其中 2 位为华裔数学家，分别是 1982 年获奖的数学家丘成桐和 2006 年获奖的数学家陶哲轩。
与其他奖项不同的是，菲尔兹奖有着严格的年龄限制，设立这一标准主要是为了激励获奖者取得进一步的成就，将获得此奖作为一个起见而非终点。但这也导致年纪较大的数学家无缘此奖项。
沃尔夫数学奖
沃尔夫数学奖（Wolf Prize in Mathematics）是沃尔夫奖的一个奖项。1976 年 1 月，R. 沃尔夫及其家族捐献一千万美元成立了沃尔夫基金会，其宗旨是为了促进全世界科学·艺术的发展。沃尔夫基金会设有数学、物理、化学、医学和农学五个奖，1981 年又增设艺术奖。
1978 年，沃尔夫数学奖开始颁发，通常每年颁发一次，每个奖的奖金为 10 万美元，可以由几人分得。获得该奖项的华人包括陈省身和丘成桐两位数学家。
包揽三大奖项的数学家们
在今年的阿贝尔奖公布之后，Gregory Margulis 成为又一位集齐三大奖项的数学家。在他之前，还有四位数学家也包揽过这三大奖项。他们分别是：
让•皮埃尔•塞尔（1926—）：法国数学家，主要贡献的领域是拓扑学、代数几何与数论。1954 年获得菲尔兹奖，当时年仅 28 岁，他是至今最年轻的获奖者，也是阿贝尔奖的首个得主。
皮埃尔•德利涅（1944－）：比利时数学家，最重要的贡献之一是 20 世纪 70 年代关于韦伊猜想的工作。除了三大数学奖项之外，他还荣获过克拉福德奖。
约翰•米尔诺（1931—）：美国数学家，主要贡献在于微分拓扑、K-理论和动力系统及其著作。
约翰·格里格斯·汤普森（1932—）：美国数学家，最有名的工作是有限群研究，证明了著名的法伊特－汤普森定理。
在 Gregory Margulis 之前包揽三大数学奖项的数学家。从左至右：让•皮埃尔•塞尔、皮埃尔•德利涅、约翰•米尔诺、约翰·格里格斯·汤普森。
数学是人类科学最底层的支柱之一，正是 Furstenberg 与 Margulis 这样一代代数学家靠纸与笔演算出来的逻辑，才构建了众多学科前进的依据。阿贝尔奖、菲尔兹奖、沃尔夫数学奖只是数学进程上的剪影，我们还会继续创新这个自然科学最美丽的语言——数学。
参考链接：http://blog.sina.com.cn/s/blog_48f464180102v5lu.html
https://www.nature.com/articles/d41586-020-00799-7
